问题详情:
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与轴交于、两点,与轴交于点,且点的坐标为,点的坐标为,对称轴为直线.点是抛物线上一个动点,设点的横坐标为,连接,,,.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)当的面积等于的面积的时,求的值;
(3)在(2)的条件下,若点是轴上一动点,点是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点,使得以点为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)的值为3;(3)存在,点的坐标为,,,.
【解析】
(1)把A、C两点坐标代入函数解析式,结合对称轴方程,联立方程组,求出a,b,c的值即可;
(2)过点作轴于点,交于点,过点作交的延长线于点.首先计算出的面积=6,得,求得B(4,0),直线的函数表达式为,可得点的坐标为,点的坐标为,根据得方程求解即可;
(3)根据平行四边形的判定与*质分三种情况进行求解:①当为对角线时;②当为对角线时;③当为对角线时.
【详解】
(1)由题意得,解得
故抛物线的函数表达式为
(2)过点作轴于点,交于点,过点作交的延长线于点.
∵点的坐标为,∴
∵点的坐标为∴
当时,,
解得,.
∴
设直线的函数表达式为
则,解得,
∴直线的函数表达式为.
则点的坐标为,点的坐标为,
∴
∵点的坐标为,
∴.
.
则有
解得(不合题意,舍去),.
∴的值为3.
(3)存在,点的坐标为,,,
在中,
当时,,
∴.
分三种情况讨论:
①当为对角线时,如图(1),
易知点与点关于直线对称.
∴,,
∴,
又∵,
∴
②当为对角线时,如图(2),
,,
∴.
又∵,
∴
③当为对角线时.
∵,易知点的纵坐标为.
将代入中,得,
解得,.
当时,点的位置如图(3)所示,则
分别过点作轴的垂线,垂足分别为点,易*.
∵,
∴,
又∵,
∴
当时,点的位置如图(4)所示,则.
同理易得点的坐标为
综上所述:点的坐标为,,,.
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形*质、面积计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题